Question

已知動圓過定點(diǎn)Q（1，0），且與定直線x=-1相切．
（1）求此動圓圓心P的軌跡C的方程；
（2）若過點(diǎn)M（4，0）的直線l與曲線C分別相交于A，B兩點(diǎn)，若2

AM

=

MB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義即可得出；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4）（k存在且k≠0），把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知向量相等即可得出直線的斜率，進(jìn)而得出直線的方程．

解答：解：（1）由題意知，動圓圓心M的軌跡C是以定點(diǎn)Q（1，0）為焦點(diǎn)，以定直線
x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y²=4x；
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-4）（k存在且k≠0）．
聯(lián)立

y=k(x-4) y2=4x

，消去x，得 ky²-4y-16k=0，
顯然△＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 y1+y2=

4

k

，y₁y₂=-16．

AM

=(4-x1，-y1)，

MB

=(x2-4，y2)．
又∵2

AM

=

MB

，∴-2y₁=y₂．
聯(lián)立

y1+y2= 4 k y1y2=-16 -2y1=y2

，消去y₁，y₂得k²=2，解得k=±

2

．
∴直線l的方程為y=±

2

(x-4)．

點(diǎn)評：熟練掌握拋物線的定義、直線與圓錐曲線相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，該題是中檔題．