Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-6x+2（x∈R），若對(duì)于任意x∈[-1，2]，都有f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為8．

Answer 1

分析 由已知求出f（-1）和f（2）≥成立的a的范圍，說(shuō)明當(dāng)4≤a＜8時(shí)[-1，2]內(nèi)的$\sqrt{\frac{2}{a}}$不滿(mǎn)足f（x）≥0成立，然后分析a=8時(shí)成立得答案．

解答 解：由已知f（x）在[-1，2]上f（x）≥0恒成立，
則必有f（-1）=-a+8≥0且f（1）=a-4≥0，
即必須有4≤a≤8，
又4≤a＜8時(shí)，$\sqrt{\frac{2}{a}}$∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]⊆[-1，2]，
且f（$\sqrt{\frac{2}{a}}$）=$a（\sqrt{\frac{2}{a}}）^{3}-6\sqrt{\frac{2}{a}}+2$=2-$4\sqrt{\frac{2}{a}}$$＜2-\sqrt{\frac{2}{8}}=0$，
即f（$\sqrt{\frac{2}{a}}$）＜0，得4≤a＜8時(shí)，對(duì)于任意x∈[-1，2]，f（x）≥0不恒成立．
而當(dāng)a=8時(shí)，f（x）=8x³-6x+2，f′（x）=24x²-6=6（2x+1）（2x-1），
當(dāng)x∈（-1，$-\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，2）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，
可得f（x）在（-1，$-\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，2）上單調(diào)遞增，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
而此時(shí)f（$\frac{1}{2}$）=$8×（\frac{1}{2}）^{3}-6×\frac{1}{2}+2=0$，
∴a=8時(shí)，對(duì)于任意x∈[-1，2]，都有f（x）≥0成立，
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，訓(xùn)練了特值驗(yàn)證法，考查學(xué)生的靈活思維能力，是中檔題．