Question

已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上．又知此拋物線上一點(diǎn)A（1，m）到焦點(diǎn)的距離為3．
（Ⅰ）求此拋物線的方程；
（Ⅱ）若此拋物線方程與直線y=kx-2相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），由題意推導(dǎo)出1+

p

2

=3，由此能求出拋物線的方程．
（2）由

y2=8x y=kx-2

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式能求出k的值．

解答： （本小題12分）
解：（1）由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），…（1分）
其準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，
∵A（1，m）到焦點(diǎn)的距離等于A到其準(zhǔn)線的距離，
此拋物線上一點(diǎn)A（1，m）到焦點(diǎn)的距離為3，
∴1+

p

2

=3，∴p=4．…（3分）
∴此拋物線的方程為y²=8x．…（4分）
（2）由

y2=8x y=kx-2

，消去y得k²x²-（4k+8）x+4=0，…（6分）
∵直線y=kx-2與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
則有

k≠0 △＞0

，解得k＞-1且k≠0．…（8分）
又∵x₁+x₂=

4k+8

k2

=4，…（10分）
解得k=2或k=-1（舍去）．
∴所求k的值為2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的這數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．