【題目】在四棱錐P–ABCD中,,.
(1)設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)M,,且平面PCD,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若,,,且,求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由AB∥CD,得到,由MN∥平面PCD,得MN∥PC,從而,由此能實(shí)數(shù)m的值;
(2)由AB=AD,∠BAD=60°,知△ABD為等邊三角形,推導(dǎo)出PD⊥DB,PD⊥AD,從而PD⊥平面ABCD,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,由此能求出二面角B﹣PC﹣B的余弦值.
解:(1)因?yàn)?/span>,所以,即.
因?yàn)?/span>平面PCD,平面PAC,平面平面,
所以.
所以,即.
(2)因?yàn)?/span>,,可知為等邊三角形,
所以,又,
故,所以.
由已知,,所以平面ABCD,
如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>x,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,,
所以,,,,
則,,
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,則有
即.
令,則,即,
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為,則有
,即
令,則,即.
所以
設(shè)二面角的平面角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)(其中)
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),的值域是,求實(shí)數(shù)n與a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為其右頂點(diǎn)為,下頂點(diǎn)為,定點(diǎn),的面積為過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn),直線分別與軸交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)試探究的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線.
(1)用函數(shù)的形式表示曲線;
(2)若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,為曲線上的點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定函數(shù)和,令,對(duì)以下三個(gè)論斷:
(1)若和都是奇函數(shù),則也是奇函數(shù);(2)若和都是非奇非偶函數(shù),則也是非奇非偶函數(shù):(3)和之一與有相同的奇偶性;其中正確論斷的個(gè)數(shù)為( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽,在處按方向釋放機(jī)器人甲,同時(shí)在處按某方向釋放機(jī)器人乙,設(shè)機(jī)器人乙在處成功攔截機(jī)器人甲.若點(diǎn)在矩形區(qū)域內(nèi)(包含邊界),則挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失。阎米,為中點(diǎn),機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍,比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn),記與的夾角為.
(1)若,足夠長(zhǎng),則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功?(結(jié)果精確到);
(2)如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域的寬的長(zhǎng)度,才能確保無論的值為多少,總可以通過設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,以相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,
(l)設(shè)為參數(shù),若,求直線的參數(shù)方程;
(2)已知直線與曲線交于,設(shè),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)報(bào)道,全國(guó)很多省市將英語考試作為高考改革的重點(diǎn),一時(shí)間“英語考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注,為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長(zhǎng)在內(nèi)的社會(huì)人士對(duì)高考英語改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進(jìn)行調(diào)查,就“是否取消英語聽力”問題進(jìn)行了問卷調(diào)查統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
態(tài)度 調(diào)查人群 | 應(yīng)該取消 | 應(yīng)該保留 | 無所謂 |
在校學(xué)生 | 2100人 | 120人 | 人 |
社會(huì)人士 | 600人 | 人 | 人 |
(1)已知在全體樣本中隨機(jī)抽取人,抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為,現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取人進(jìn)行問卷訪談,問應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人?
(2)在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取人,再平均分成兩組進(jìn)行深入交流,求第一組中在校學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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