Question

5．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，1），\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，{cos^2}\frac{x}{2}），f（x）=2\overrightarrow m•\overrightarrow n-1$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）畫出函數(shù)f（x）在[0，2π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡即可，并根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出單調(diào)區(qū)間，
（2）利用五點(diǎn)作圖法，即可得到函數(shù)的圖象．

解答 解：$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}，1），\overrightarrow n=（cos\frac{x}{2}，{cos^2}\frac{x}{2}）$
（1）$f（x）=2\overrightarrow m•\overrightarrow n-1$=$2（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}）-1=\sqrt{3}sinx+cosx=2sin（x+\frac{π}{6}）$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得2kπ-$\frac{2}{3}π$≤x≤2kπ+$\frac{1}{3}π$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{2}{3}π$，2kπ+$\frac{1}{3}π$]，k∈Z．
（2）列表如下：

x	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{5}{6}$π	$\frac{4}{3}$π	$\frac{11}{6}$π	2π
x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3}{2}$π	2π	$\frac{13}{6}$π
y	1	2	0	-2	0	1

畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π]上的圖象．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，和兩角和公式，二倍角公式的運(yùn)用．三角函數(shù)的基本公式較多，注意多積累．