Question

已知函數(shù)，．
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知點和函數(shù)圖象上動點，對任意，直線傾斜角都是鈍角，求的取值范圍．

Answer 1

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）

試題分析：（1）先求導，再令導數(shù)等于0，解導數(shù)大于0得函數(shù)的增區(qū)間，解導數(shù)小于0得函數(shù)的減區(qū)間。（2）可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，即在上。先求導，因為，故可只討論分子的正負問題，不妨令，討論在區(qū)間上的正負問題，同時注意對的討論。根據(jù)導數(shù)正得增區(qū)間導數(shù)負得減區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。
解：⑴ 當時，，定義域為，


所以當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
⑵ 因為對任意，直線的傾斜角都是鈍角，
所以對任意，直線的斜率小于0，即，，
即在區(qū)間上的最大值小于1，
，．
令
①當時，在上單調(diào)遞減， ，顯然成立，所以．
②當時，二次函數(shù)的圖象開口向下，
且，，
，，故，在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞減，，顯然成立，所以．
⑶ 當時，二次函數(shù)的圖象開口向上，且，．
所以，當時，． 當時，．
所以在區(qū)間內(nèi)先遞減再遞增．
故在區(qū)間上的最大值只能是或．
所以 即所以．
綜上．