Question

給定兩個(gè)長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：對(duì)

OC

=x

OA

+y

OB

兩邊平方并根據(jù)已知條件可得到：x²-xy+y²=（x+y）²-3xy=1，所以（x+y）²-1=3xy，因?yàn)楦鶕?jù)向量加法的平行四邊形法則可知，x，y＞0，所以3xy≤

3

4

(x+y)2，所以(x+y)2-1≤

3

4

(x+y)2，所以得到x+y≤2，所以x+y的最大值是2．

解答： 解：由已知條件知：

OC

2=1=(x

OA

+y

OB

)2=x2

OA

2+2xy

OA

•

OB

+y2

OB

2=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
∴（x+y）²-1=3xy，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，容易判斷出x，y＞0，∴x+y≥2

xy

，∴xy≤

(x+y)2

4

；
∴(x+y)2-1≤

3

4

(x+y)2，∴（x+y）²≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量加法的平行四邊形法則，基本不等式．