Question

14．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為{x|-2＜x＜3}，求不等式cx²+bx+a＞0的解集．
（2）若不等式f（x）≥0在實(shí)數(shù)集上恒成立，且a＜b，求T=$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）若不等式f（x）＞0的解集為{x|-2＜x＜3}，求不等式cx²-bx+a＞0的解集．
（2）從二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)及判別式限制，得到a，b，c滿足的不等關(guān)系；將M中的c利用得到的不等關(guān)系去掉；將代數(shù)式變形，利用基本不等式求出最小值，

解答 解：（1）若不等式f（x）＞0的解集為{x|-2＜x＜3}，
則-2，3是對(duì)應(yīng)方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根，且a＜0，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2+3=-\frac{a}=1}\\{-2×3=\frac{c}{a}=-6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b=-a}\\{c=-6a}\end{array}\right.$，
則不等式cx²+bx+a＞0等價(jià)為-6ax²-ax+a＞0，
即6x²+x-1＞0，
即（2x+1）（3x-1）＞0，
解得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{2}$，
即不等式的解集為{x|x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{2}$}．
（2）若不等式f（x）≥0在實(shí)數(shù)集上恒成立，且a＜b，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$，
∵b＞a＞0，∴b-a＞0，
∵b²≤4ac得c$≥\frac{^{2}}{4a}$，
則$T=\frac{a+b+c}{b-a}$≥$\frac{a+b+\frac{^{2}}{4a}}{b-a}$=$\frac{{（2a+b）}^{2}}{4a（b-a）}=\frac{{[3a+（b-a）]}^{2}}{4a（b-a）}$ $≥\frac{4（b-a）×3a}{4a（b-a）}=3$，
$當(dāng)且僅當(dāng)3a=b-a且c=\frac{^{2}}{4a}$即c=b=4a時(shí)，取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 主要考查了一元二次不等式的求解以及二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題．二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題分兩類(lèi)，一是大于0恒成立須滿足開(kāi)口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開(kāi)口向下，且判別式小于0．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．