Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分別是BC、C₁C、C₁D₁、A₁A的中點．求證：
（1）BF∥HD₁；
（2）EG∥平面BB₁D₁D；
（3）平面BDF∥平面B₁D₁H．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）取BB₁的中點M，連接HM、MC₁，四邊則HMC₁D₁是平行四邊形，即可證明BF∥HD₁；
（2）取B₁D₁的中點O，易證四邊形BEGO為平行四邊形，故有OB∥GE，從而證明EG∥平面BB₁D₁D．
（3）由正方體得BD∥B₁D₁，由四邊形HBFD₁是平行四邊形，可得 HD₁∥BF，可證 平面BDF∥平面B₁D₁H．

解答： 證明：（1）取BB₁的中點M，連接HM、MC₁，四邊則HMC₁D₁是平行四邊形，
∴HD₁∥MC₁．
又∵MC₁∥BF，∴BF∥HD₁．
（2）取BD的中點O，連接EO、D₁O，則OE∥DC，OE=

1

2

DC．
又D₁G∥DC，D₁G=

1

2

DC，
∴OE∥D₁G，OE=D₁G，
∴四邊形OEGD₁是平行四邊形，∴GE∥D₁O．
又D₁O?平面BB₁D₁D，∴EG∥平面BB₁D₁D．
（3）由（1）知D₁H∥BF，又BD∥B₁D₁，B₁D₁、HD₁?平面HB₁D₁，BF、BD?平面BDF，且B₁D₁∩HD₁=D₁，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁H．

點評：本題考查證面面平行、線面平行的方法，直線與平面平行的判定、性質的應用，取B₁D₁的中點O，是解題的突破口．