Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+lnx+5，（0＜x≤1）}\\{x+\frac{9}{x+1}+m，（x＞1）}\end{array}\right.$的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，1]．

Answer 1

分析 f（x）為分段函數(shù)，需求出每段上f（x）的范圍：0＜x≤1時(shí)，f（x）=x+lnx+5顯然為增函數(shù)，從而得到f（x）≤6；而x＞1時(shí)，根據(jù)基本不等式便可得出$f（x）=x+\frac{9}{x+1}+m≥5+m$，并且可以說(shuō)明等號(hào)可以取到，從而根據(jù)f（x）的值域?yàn)镽便有5+m≤6，這樣便可得出m的取值范圍．

解答 解：①0＜x≤1時(shí)，f（x）=x+lnx+5為增函數(shù)；
∴f（x）≤f（1）=6；
②x＞1時(shí)，$f（x）=x+\frac{9}{x+1}+m=（x+1）+\frac{9}{x+1}+m$-1≥6+m-1=5+m，當(dāng)$x+1=\frac{9}{x+1}$，即x=2時(shí)取“=”；
∵f（x）的值域?yàn)镽；
∴5+m≤6；
∴m≤1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，以及分段函數(shù)值域的求法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求值域的方法，根據(jù)基本不等式求值域，以及對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性．