Question

已知f（x）=sinx+2sin(

π

4

+

x

2

)cos(

π

4

+

x

2

)．
（Ⅰ）若f(α)=

2

2

，α∈(-

π

2

，0)，求α的值；
（Ⅱ）若sin

x

2

=

4

5

，x∈(

π

2

，π)，求f（x）的值．

Answer 1

分析：首先利用正弦的倍角公式與正余弦互化公式把函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為y=Asin（ωx+φ）的形式；
（Ⅰ）利用特殊角三角函數(shù)值即可解之；
（Ⅱ）先由sin

x

2

求得cos

x

2

，再求sinx、cosx，則問(wèn)題解決．

解答：解：f（x）=sinx+2sin(

π

4

+

x

2

)cos(

π

4

+

x

2

)
=sinx+sin(x+

π

2

)
=sinx+cosx
=

2

sin(x+

π

4

).
（Ⅰ）由f(α)=

2

2

，得

2

sin(α+

π

4

)=

2

2

，
∴sin(α+

π

4

)=

1

2

.
∵α∈(-

π

2

，0)，∴α+

π

4

∈(-

π

4

，

π

4

)，
∴α+

π

4

=

π

6

，∴α=-

π

12

.
（Ⅱ）∵x∈(

π

2

，π)，∴

x

2

∈(

π

4

，

π

2

)，
又sin

x

2

=

4

5

，∴cos

x

2

=

3

5

，
∴sinx=2sin

x

2

cos

x

2

=

24

25

，cosx=-

1-sin2x

=-

7

25

.
∴f（x）=sinx+cosx=

24

25

-

7

25

=

17

25

.

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查倍角公式、和角公式、正余弦關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，同時(shí)考查三角函數(shù)變形為y=Asin（ωx+φ）的轉(zhuǎn)化思想．