Question

（2012•安徽模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=3，2S_n-na_n-n=0（n∈N^*））
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記Tn=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)，求證：當(dāng)n∈N^*時(shí)，Tn＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)2S_n-na_n-n=0，再寫(xiě)一式，兩式相減可得na_n-（n-1）a_n+1=1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，兩邊同除以n（n-1）得

an+1

n

-

an

n-1

=

1

n

-

1

n-1

，利用疊加法即可確定數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）用分析法證明不等式，由（1）知，Tn=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)=

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

，從而不等式Tn＞

2n+1

等價(jià)于

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

＞

2n+1

，即證明(

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

)2＞2n+1，利用

2k

2k-1

＞

2k+1

(2k-1)+1

=

2k+1

2k

可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵2S_n-na_n-n=0，2S_n+1-（n+1）a_n+1-（n+1）=0
兩式相減得2a_n+1-（n+1）a_n+1+na_n-1=0=1
∴na_n-（n-1）a_n+1=1
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，兩邊同除以n（n-1）得

an+1

n

-

an

n-1

=

1

n

-

1

n-1

∴利用疊加法可得

an

n-1

-a2=

1

n-1

-1
∴

an

n-1

=

1

n-1

+2=

2n-1

n-1

∴n≥2時(shí)，a_n=2n-1，當(dāng)n=1時(shí)，也成立
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知，Tn=(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)=

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

從而不等式Tn＞

2n+1

等價(jià)于

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

＞

2n+1

即證明(

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

)2＞2n+1
又∵

2k

2k-1

＞

2k+1

(2k-1)+1

=

2k+1

2k

∴(

2

1

)2＞

2

1

•

3

2

，(

4

3

)2＞

4

3

•

5

4

，…，(

2n

2n-1

)2＞

2n

2n-1

•

2n+1

2n

∴(

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

)2＞2n+1
即有

2

1

×

4

3

×…

2n

2n-1

＞

2n+1

故Tn＞

2n+1

成立

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是利用疊加法求數(shù)列的通項(xiàng)，利用放縮法證明不等式．