Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；
（2）在（1）的條件下，求異面直線AE與CD所成角的余弦值；
（3）求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：
（1）欲證直線與直線垂直，可用先證直線與平面垂直．∵BA⊥AD，BA⊥PA，∴BA⊥平面PAD．∴PD⊥BA．又∵PD⊥AE，∴PD⊥平面BAE，∴PD⊥BE．
（2）求異面直線所成的角，可以做適當(dāng)?shù)钠揭�，把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在相關(guān)的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移時主要是根據(jù)中位線和中點條件，或者是特殊的四邊形，三角形等．過點E作EM∥CD交PC于M，連接AM，則AE與ME所成角即為AE與CD所成角．
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．延長AB與DC相交于G點，連PG，則面PAB與面PCD的交線為PG，易知CB⊥平面PAB，過B作BF⊥PG于F點，連CF，則CF⊥PG，∴∠CFB為二面角C-PG-A的平面角
解法二：
在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．這種解法的好處就是：1、解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理，因為這些可以用向量方法來解決．2、即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點的位置即可．則A（0，0，0），B（a，0，0），，C（a，a，0），D（0，2a，0），
（1），∴BE⊥PD
（2）由（1）知，=（-a，a，0）設(shè)所成角為θ則cosθ=
（3）利用平面PAB與平面PCD的法向量所成的角，去求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的正切值．
解答：解法一：（1）∵∠BAD=90°，∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A，BA⊥PA．又∵PA∩AD=A，
∴BA⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD．
∴PD⊥BA．又∵PD⊥AE，且BA∩AE=A，
∴PD⊥平面BAE
∴PD⊥BE，即BE⊥PD．（4分）
（2）過點E作EM∥CD交PC于M，連接AM，則AE與ME所成角即為AE與CD所成角

∵PA⊥底面ABCD，且PD與底面ABCD成30°角．
∴∠PDA=30°．
∴在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠PDA=30°，AD=2a
∴PA=a．
∴AE==a．
∵PE=a．
∴ME=a．
連接AC
∵在△ACD中AD=2a，AC=a，
AD²=AC²+CD²
∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∴ME⊥AC
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，∴ME⊥PA．
∴ME⊥平面PAC．∵M(jìn)A?平面PAC，
∵M(jìn)E⊥AM．
∴在Rt△AME中，cos∠MEA=．

∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為
（9分）
（3）延長AB與DC相交于G點，連PG，則面PAB
與面PCD的交線為PG，易知CB⊥平面PAB，過B作BF⊥PG于F點，連CF，則CF⊥PG，
∴∠CFB為二面角C-PG-A的平面角，
∵CB∥AD，
∴GB=AB=a，∠PDA=30°，PA=a，AG=2a．
∴∠PGA=30°，
∴BF==2，
∴平面PAB與平面PCD所成的二面角的正切值為2．（14分）
解法二：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），B（a，0，0），，C（a，a，0），
D（0，2a，0），
∴，
∴，
∴BE⊥PD（4分）

（2）由（1）知，=（-a，a，0）設(shè)所成角為θ
則cosθ=，
∴異面直線AE與CD所成角的余統(tǒng)值為．（9分）

（3）易知，CB⊥AB，CB⊥PA，
則CB⊥平面PAB．，∴是平面PAB的法向量．∴=（0，a，0）．
又設(shè)平面PCD的一個法向量為，
則．而=（-a，a，0），
∴由=0．
得
∴
令y=1，，∴
設(shè)向量所成角為θ，
則cosθ=．
∴tanθ=2．
∴平面PAB與平面PCD所成銳二面角的正切值為2．（14分）
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系、二面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．