Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）求直線AD₁與直線BD所成的角．

Answer 1

分析：（1）在正方體中AD₁⊥A₁D，又可得AD₁⊥A₁B₁，由線面垂直的判定定理可得；
（2）連接B₁D₁，AB₁，可得∠AD₁B₁即為所求的角，解三角形可得．

解答：解：（1）∵在正方體中AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥面ADD₁A₁，
且AD₁?面ADD₁A₁，∴AD₁⊥A₁B₁，
而A₁D，A₁B₁在平面CDA₁B₁內(nèi)，且相交
∴AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）連接B₁D₁，AB₁，
∵BD∥B₁D₁，∴∠AD₁B₁即為所求的角，
而三角形AB₁D₁為正三角形，故∠AD₁B₁=60°，
∴直線AD₁與直線BD所成的角為60°

點評：本題考查異面直線所成的角，涉及線面垂直的判定，屬中檔題．