Question

5．宿州市教體局為了了解2017屆高三畢業(yè)生學(xué)生情況，利用分層抽樣抽取50位學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試成績作調(diào)查，制作了成績頻率分布直方圖，如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．
（Ⅰ）求圖中x的值；
（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計宿州市2017屆高三畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試成績的平均分；
（Ⅲ）在抽取的50人中，從成績在[50，60）和[90，100]的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，求這2人成績差別不超過10分的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，能求出x．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，能估計宿州市2017屆高三畢業(yè)生成績的平均分．
（Ⅲ）由題意知道成績在[50，60）的學(xué)生有3個，分別設(shè)為A₁，A₂，A₃；成績在[90，100]的學(xué)生有3個，分別設(shè)為B₁，B₂，B₃．由此利用列舉法能求出這2人成績差別不超過10分的概率．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，得：
30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，
解得x=0.018．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖，得：
45×0.006×10+55×0.006×10+65×0.01×10+75×0.054×10+85×0.018×10+95×0.006×10=74
所以估計宿州市2017屆高三畢業(yè)生成績的平均分為74
（Ⅲ）由題意知道成績在[50，60）的學(xué)生有3個，分別設(shè)為A₁，A₂，A₃；
成績在[90，100]的學(xué)生有3個，分別設(shè)為B₁，B₂，B₃．
隨機(jī)選取兩人有：
A₁A₂，A₁A₃，A₂A₃，B₁B₂，B₁B₃，B₂B₃，A₁B₁，A₁B₂，
A₁B₃，A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃，A₃B₁，A₃B₂，A₃B₃共15種情況．
這2人成績差別不超過10分的情況為兩人都在一個區(qū)域，
而2人成績都在[50，60）的有A₁A₂，A₁A₃，A₂A₃，3種情況，
2人成績都在[90，100]的有B₁B₂，B₁B₃，B₂B₃，3種情況，
故概率為p=$\frac{3+3}{15}=\frac{2}{5}$．

點評 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．