Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（1）若對(duì)于區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的任意x，總有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1 ， x2 ， 求：
①實(shí)數(shù)k的取值范圍；
② 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≥0|x2﹣1|+x2+kx≥0k≥﹣ ，x∈（0，+∞），

記g（x）=﹣ = ，易知g（x）在（0，1]上遞增，在（1，+∞）上遞減，

∴g（x）max=g（1）=﹣1，

∴k≥﹣1；

（2）解：①（ⅰ）0＜x≤1時(shí)，方程f（x）=0化為kx+1=0，k=0時(shí)，無(wú)解；k≠0時(shí)，x=﹣ ；

（ⅱ）1＜x＜2時(shí)，方程f（x）=0化為2x2+kx﹣1=0，x= ，而其中 ＜ ≤0，

故f（x）=0在區(qū)間（1，2）內(nèi)至多有一解x= ；

綜合（�。�（ⅱ）可知，k≠0，且0＜x≤1時(shí)，方程f（x）=0有一解x=﹣ ，故k≤﹣1；

1＜x＜2時(shí)，方程f（x）=0也僅有一解x= ，令1＜ ＜2，得﹣ ＜k＜﹣1，

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是﹣ ＜k＜﹣1；

②方程f（x）=0的兩解分別為x1=﹣ ，x2= ，

=﹣k+ =﹣k+ = =2x2∈（2，4）．

【解析】（1）由f（x）≥0分離出參數(shù)k，得k≥﹣ ，x∈（0，+∞），記g（x）=﹣ ，則問(wèn)題等價(jià)于k≥g（x）max ， 由單調(diào)性可得g（x）max；（2）①（i）當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程f（x）=0為一次型方程，易判斷k≠0時(shí)有一解；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，方程f（x）=0為二次方程，可求得兩解，易判斷其一不適合，令另一解大于1小于2，可得k的范圍，綜合可得結(jié)論；（ii）由①易知兩零點(diǎn)x1 ， x2 ， 從而可表示出 ，化簡(jiǎn)可得為2x2 ， 結(jié)合（ii）可得結(jié)論；