Question

 

已知函數(shù)．

（Ⅰ）若有兩個不同的解，求的值；

（Ⅱ）若當時，不等式恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）求在上的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）方程，即，變形得，

顯然，x=1已是該方程的根，從而欲原方程有兩個不同的解，即要求方程

“有且僅有一個不等于1的解”或“有兩解，一解為1，另一解不等于1” ……3分

結合圖形，得或……………………………………………………5分

（Ⅱ）不等式對恒成立，即（*）對恒成立，

①當x=1時，（*）顯然成立，此時 ……………………………………6分

②當x≠1時，（*）可變形為，令，

因為當x>1時，；而當x<1時，.

所以，故此時……………………………………………9分

綜合①②，得所求的取值范圍是 ……………………………10分

（Ⅲ）因為=,

①  當時，結合圖形可知h(x)在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，

且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，經(jīng)比較，此時h(x)在[-2，2]上的最大值為…11分

②  當時，結合圖形可知h(x)在[-2，-1]，上遞減，

在，[1，2]上遞增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，

經(jīng)比較，知此時h(x) 在[-2，2]上的最大值為……………………12分

③  當時，結合圖形可知h(x)在[-2，-1]，上遞減，

在，[1，2]上遞增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，，

經(jīng)比較，知此時h(x) 在[-2，2]上的最大值為………………………13分

④  當時，結合圖形可知h(x)在，上遞減，

在，上遞增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，

經(jīng)比較，知此時h(x) 在[-2，2]上的最大值為………………………14分

⑤  當時，結合圖形可知h(x)在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，

故此時h(x) 在[-2，2]上的最大值為h(1)=0………………………………15分

綜上所述，當時，h(x) 在[-2，2]上的最大值為；

當時，h(x) 在[-2，2]上的最大值為；

當時，h(x) 在[-2，2]上的最大值為0…………………………………16分