(2012•荊州模擬)設二次函數(shù)f(x)=mx2+nx+t的圖象過原點,g(x)=ax3+bx-3(x>0),f(x),g(x)的導函數(shù)為f′(x),g′(x),且f′(0)=0,f′(-1)=-2,f(1)=g(1),f′(1)=g′(1).
(1)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式;
(2)求F(x)=f(x)-g(x)的極小值;
(3)是否存在實常數(shù)k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)由已知得t=0,求出導數(shù)f′(x)=2mx+n,由f′(0)=n=0,f′(-1)=-2m+n=-2,解得n=0,m=1,得出f(x)=x2f′(x)=2x,g′(x)=3ax2+b.再由條件列出關于a,b的方程,求得a,b即可寫出函數(shù)f(x),g(x)的解析式;
(2)F(x)=f(x)-g(x)=x3+x2-5x+3(x>0),先確定函數(shù)的定義域然后求出函數(shù)的導涵數(shù)Fˊ(x),在函數(shù)的定義域內解不等式Fˊ(x)>0和Fˊ(x)<0,即可求出函數(shù)的單調區(qū)間,然后根據極值的定義進行判定極值即可.(3)對于存在性問題,可先假設存在,即假設存在函數(shù)f(x)在點(1,1)的切線方程為y=2x-1滿足條件,再利用導數(shù),求出h(x)=-x3+5x-3-(2x-1)的最大值進行驗證,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(1)由已知得t=0,f′(x)=2mx+n,
則f′(0)=n=0,f′(-1)=-2m+n=-2,從而n=0,m=1,
∴f(x)=x2f′(x)=2x,g′(x)=3ax2+b.
由f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),得a+b-3=1,3a+b=2,解得a=-1,b=5.∴g(x)=-x3+5x-3(x>0).
(2)F(x)=f(x)-g(x)=x3+x2-5x+3(x>0),
求導數(shù)得F′(x)=3x2+2x-5=(x-1)(3x+5).∴F(x)在(0,1)單調遞減,在(1,+∞)單調遞增,從而F(x)的極小值為F(1)=0.
(3)因f(x)與g(x)有一個公共點(1,1),而函數(shù)f(x)在點(1,1)的切線方程為y=2x-1.
下面驗證
f(x) ≥2x-1      
g(x)≤2x-1
都成立即可.
由x2-2x+1≥0,得x2≥2x-1,知f(x)≥2x-1恒成立.
設h(x)=-x3+5x-3-(2x-1),即h(x)=-x3+3x-2(x>0),
求導數(shù)得h′(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1)(x>0),∴h(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,所以h(x)=-x3+5x-3-(2x-1)的最大值為h(1)=0,
所以-x3+5x-3≤2x-1恒成立.
故存在這樣的實常數(shù)k和m,且k=2,m=-1.
點評:本小題主要考查函數(shù)的導數(shù),單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎知識,考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力,注意(3)的處理存在性問題的一般方法,首先假設存在,進而根據題意、結合有關性質,化簡、轉化、計算,最后得到結論.
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an
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+bn)
-
an-1
n-2+an
≤0
成立,求正實數(shù)a的取值范圍.

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