Question

已知函數(shù)f（x）=

ex-e-x

ex+e-x

（其中e=2.71828…是一個(gè)無(wú)理數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷奇偶性并證明之；
（3）判斷單調(diào)性并證明之．

Answer 1

分析：（1）把分子整理變化成和分母相同的一部分，進(jìn)行分子常數(shù)化，則變量只在分母上出現(xiàn)，根據(jù)分母是一個(gè)指數(shù)形式，恒大于零，得到函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．
（2）根據(jù)上一問(wèn)值函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從f（-x）入手整理，把負(fù)指數(shù)變化為正指數(shù)，就得到結(jié)果，判斷函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)．
（3）根據(jù)判斷函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)出兩個(gè)任意的自變量，把兩個(gè)自變量的函數(shù)值做差，化成分子和分母都是因式乘積的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷差和零的關(guān)系．

解答：解：f（x）=

e2x-1

e2x+1

=1-

2

e2x+1

（1）∵e^2x+1恒大于零，
∴x∈R
（2）函數(shù)是奇函數(shù)
∵f（-x）=

e-2x-1

e-2x+1

=

1-e2x

1+e2x

=-f(x)
又由上一問(wèn)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）為奇函數(shù)
（3）是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)
設(shè)x₁，x₂∈R  且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

e2x1+1

-1+

2

e2x2+1

=

2(e2x1-e2x2)

(e2x1+1)(e2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴e2x1-e2x2＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R是單調(diào)增函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的奇偶性的判斷及證明．考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，考查解決問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目．