Question

（2008•咸安區(qū)模擬）已知體積為

3

的正三棱錐V-ABC的外接球的球心為O，滿足

OA

+

OB

+

OC

=

0

，則該三棱錐外接球的體積為

16

3

π

．

Answer 1

分析：由題意球的三角形ABC的位置，以及形狀，利用球的體積，求出球的半徑，求出棱錐的底面邊長，利用棱錐的體積求出該三棱錐外接球的體積即可．

解答：解：正三棱錐D-ABC的外接球的球心O滿足

OA

+

OB

=

CO

，
說明三角形ABC在球O的大圓上，并且為正三角形，
設球的半徑為：R，棱錐的底面正三角形ABC的高為：

3R

2

底面三角形ABC的邊長為：

3

R
正三棱錐的體積為：

1

3

×

3

4

×（

3

R）²×R=

3

解得R³=4，則該三棱錐外接球的體積為

4

3

πR 3=

16

3

π．
故答案為：

16

3

π．

點評：本題考查球的內接體問題，球的體積，棱錐的體積，考查空間想象能力，轉化思想，計算能力，是中檔題．