Question

3．定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長(zhǎng)度均為d=b-a，多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的長(zhǎng)度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x]，其中x∈R．設(shè)f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，當(dāng)0≤x≤k時(shí)，不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長(zhǎng)度為5，則k的值為7．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡(jiǎn)f（x）＜g（x），再分類討論：①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)③當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，從而得出f（x）＜g（x）在0≤x≤k時(shí)的解集的長(zhǎng)度，依題意即可求得k的值．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1，
f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，
∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為0＞0，
∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1=3，
∴當(dāng)x∈[0，3）時(shí)，不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長(zhǎng)度為d=3-2=1；
同理可得，當(dāng)x∈[3，4）時(shí)，不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長(zhǎng)度為d=4-2=2；
∵不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長(zhǎng)度為5，
∴k-2=5，
∴k=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．