Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R），a為實(shí)數(shù)
（1）試用單調(diào)性定義證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a，f（x）在其定義域上為增函數(shù)；
（2）試確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f（x）在其定義域上為增函數(shù)．
（2）要使f（x）為奇函數(shù)，需f（0）=a-

2

1+1

=0，由此解得a的值．

解答：解：（1）設(shè)x₁＜x₂
∵f（x₁）-f（x₂）=-

2

2x1+1

+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)( 2x2+1)

，
由題設(shè)可得 2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，故函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)．
（2）要使f（x）為奇函數(shù)，需f（0）=a-

2

1+1

=0，解得a=1．
經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．