Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，，，且平面平面ABCD.

（1）求證：；

（2）在線段PA上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M-BC-D的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

(1) 過點(diǎn)P在面PAD內(nèi)作，垂足為O，連接BO、OC，可得，再結(jié)已知條件可得是等邊三角形，進(jìn)而判斷出四邊形OBCD是正方形，從而得面POC，

得；

（2）由于面ABCD，，所以以O坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求出平面MBC和平面ABCD的法向量，用，求出的值，從而得到的值

（1）證明：過點(diǎn)P在面PAD內(nèi)作，垂足為O，連接BO、OC

∵面面ABCD，

∴面ABCD，∴

∵，，

∴是等邊三角形，∴

又∵，

∴四邊形OBCD是正方形，∴，

又，∴面POC，

又面POC，∴.

（2）∵面ABCD，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系﹐

則，，，，

假設(shè)在線段PA上存在一點(diǎn)M，使二面角大小為

設(shè)，，則，

所以，

∴，，

設(shè)面MBC的法向量為，

則，即，令，得，

所以，面ABCD的一個(gè)法向量為

∵二面角M-BC-D大小為，

∴

∴或（舍），

所以在線段PA上存在點(diǎn)M滿足題設(shè)條件且.