Question

定義在[－1,1]上的奇函數(shù)f(x)，已知當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，

f(x)＝－ (a∈R)．

(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；

(2)若f(x)是[0,1]上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

【解析】【解析】
(1)設(shè)x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]，

f(－x)＝－＝4x－a·2x，

∵f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]．

令t＝2x，t∈[1,2]，

∴g(t)＝a·t－t2＝－(t－)2＋，

當(dāng)≤1，即a≤2時(shí)，g(t)max＝g(1)＝a－1；

當(dāng)1<<2，即2<a<4時(shí)，g(t)max＝g()＝；

當(dāng)≥2，即a≥4時(shí)，g(t)max＝g(2)＝2a－4.

綜上，當(dāng)a≤2時(shí)，f(x)的最大值為a－1；

當(dāng)2<a<4時(shí)，f(x)的最大值為；

當(dāng)a≥4時(shí)，f(x)的最大值為2a－4.

(2)∵函數(shù)f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，

∴f′(x)＝aln2×2x－ln4×4x＝2xln2·(a－2×2x)≥0，∴a－2×2x≥0恒成立，

∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2]，∴a≥4.

故a的取值范圍是[4，＋∞)．