Question

已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，又f(1)＝－2.

(1)判斷f(x)的奇偶性；

(2)求證：f(x)是R上的減函數(shù)；

(3)求f(x)在區(qū)間[－3,3]上的值域；

(4)若?x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)<f(x)＋4恒成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）奇函數(shù)

（2）見解析

（3）[－6,6]

（4）(，＋∞)

【解析】【解析】
(1)取x＝y(tǒng)＝0，則f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.

取y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＝－f(x)對(duì)任意x∈R恒成立，∴f(x)為奇函數(shù)．

(2)證明： 任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1<x2，則x2－x1>0，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，

∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)為奇函數(shù)，

∴f(x1)>f(x2)．

∴f(x)是R上的減函數(shù)．

(3)由(2)知f(x)在R上為減函數(shù)，

∴對(duì)任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，

∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，

∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域?yàn)閇－6,6]．

(4)f(x)為奇函數(shù)，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)<f(x)＋f(－2)，

則f(ax2－2x)<f(x－2)，

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，∴ax2－2x>x－2，

當(dāng)a＝0時(shí)，－2x>x－2在R上不是恒成立，與題意矛盾；

當(dāng)a>0時(shí)，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，則Δ＝9－8a<0，即a>；

當(dāng)a<0時(shí)，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合題意．

綜上所述，a的取值范圍為(，＋∞)．