【題目】已知拋物線 ,M為直線
上任意一點,過點M作拋物線C的兩條切線MA,MB,切點分別為A,B.
(1)當M的坐標為(0,-1)時,求過M,A,B三點的圓的方程;
(2)證明:以為直徑的圓恒過點M.
【答案】(1)(2)見證明
【解析】
(1)設出過點的切線方程,與拋物線方程聯(lián)立,得到一個元二次方程,它的判別式為零,可以求出切線方程的斜率,這樣可以求出A,B兩點的坐標,設出圓心
的坐標為
,由
,可以求出
,最后求出圓的方程;
(2)設,設切點分別為
,
,把拋物線方程化
,求導,這樣可以求出切線的斜率,求出切線
的方程,切線
的方程,又因為切線
過點
,切線
也過點
,這樣可以發(fā)現(xiàn)
,
是一個關(guān)于
的一元二次方程的兩個根,計算出
,
,計算
,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,化簡
,最后計算出
=0,這樣就證明出以
為直徑的圓恒過點M.
解:(1)解:當的坐標為
時,設過
點的切線方程為
,
由消
得
. (1)
令,解得
.
代入方程(1),解得A(2,1),B(-2,1).
設圓心的坐標為
,由
,得
,解得
.
故過三點的圓的方程為
.
(2)證明:設,由已知得
,
,設切點分別為
,
,所以
,
,
切線 的方程為
即
,
切線的方程為
即
.
又因為切線過點
,所以得
. ①
又因為切線也過點
,所以得
. ②
所以,
是方程
的兩實根,
由韋達定理得.
因為,
,
所以
.
將代入,得
.
所以以為直徑的圓恒過點
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l:x+y-6=0,過直線上一點P作圓x2+y2=4的切線,切點分別為A,B,則四邊形PAOB面積的最小值為______,此時四邊形PAOB外接圓的方程為______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點為
的坐標滿足圓
方程
,且圓心
滿足
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線
交橢圓
于
、
兩點,過
與
垂直的直線
交圓
于
、
兩點,
為線段
中點,若
的面積
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解校園噪音情況,學校環(huán)保協(xié)會對校園噪音值(單位:分貝)進行了天的監(jiān)測,得到如下統(tǒng)計表:
噪音值(單位:分貝) | ||||||
頻數(shù) |
(1)根據(jù)該統(tǒng)計表,求這天校園噪音值的樣本平均數(shù)(同一組的數(shù)據(jù)用該組組間的中點值作代表).
(2)根據(jù)國家聲環(huán)境質(zhì)量標準:“環(huán)境噪音值超過分貝,視為重度噪音污染;環(huán)境噪音值不超過
分貝,視為度噪音污染.”如果把由上述統(tǒng)計表算得的頻率視作概率,回答下列問題:
(i)求周一到周五的五天中恰有兩天校園出現(xiàn)重度噪音污染而其余三天都是輕度噪音污染的概率.
(ii)學校要舉行為期天的“漢字聽寫大賽”校園選拔賽,把這
天校園出現(xiàn)的重度噪音污染天數(shù)記為
,求
的分布列和方差
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓長軸是短軸的
倍,且右焦點為
.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)直線交橢圓
于
兩點,若線段
中點的橫坐標為
,求直線
的方程及
的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種商品價格與該商品日需求量之間的幾組對照數(shù)據(jù)如下表,經(jīng)過進一步統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.
價格x(元/kg) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
日需求量y(kg) | 11 | 10 | 8 | 6 | 5 |
(1)根據(jù)上表給出的數(shù)據(jù),求出y與x的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,當價格元/kg時,日需求量y的預測值為多少?
(參考公式:線性回歸方程,其中
,
.)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是等差數(shù)列,滿足
,
,數(shù)列
滿足
,
,且
是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和
的通項公式;
(2)求數(shù)列的前
項和.
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