Question

從正反面分別寫有0和1，2和3，4和5，6和7的4張卡片中任取3張，再將每張卡片的某一面朝上，依次排成一排，其中2，3，4，5，7 不能倒置，0和1倒置后仍是0和1，6可倒置為9．
（1）用三張卡片組成三位整數(shù)，所有可能得到的三位整數(shù)有幾個(gè)？
（2）用三張卡片組成數(shù)列，求三個(gè)數(shù)字依次成一個(gè)等差數(shù)列的概率．

Answer 1

分析：先記有0和1的為A卡，寫有6和7的為B卡，另兩張為C卡；
（1）根據(jù)題意，分有無(wú)A卡2種情況討論，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算每種情況下的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，再由分類計(jì)數(shù)原理將兩種情況下的三位數(shù)的個(gè)數(shù)相加，即可得答案；
（2）由數(shù)列的性質(zhì)分析可得B卡正反兩面有3種用法，其余的卡都有2種用法，分有無(wú)B卡2種情況討論，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得數(shù)列的個(gè)數(shù)，將其相加可得全部數(shù)列的情況數(shù)目，列舉可得三個(gè)數(shù)依次等差數(shù)列的情況數(shù)目，由等可能事件的概率公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：記寫有0和1的為A卡，寫有6和7的為B卡，另兩張為C卡；
（1）根據(jù)題意，三位數(shù)的首位不能為0，分2種情況討論：
①無(wú)A卡時(shí)，一張B卡和兩張C卡可以作任意的排列，并且每一張卡的正反兩面都可用，其中B卡的兩個(gè)面有3種用法，故可組成

A

3 3

×3×2×2=72個(gè)三位數(shù)； 
②有A卡時(shí)，再分有無(wú)B卡討論：
（Ⅰ）有B卡的，A卡在百位時(shí)：有C₂¹A₂²×3×2=24個(gè)，A卡不在百位時(shí)，有C₂¹C₂¹A₂²×3×2×2=96個(gè)，
（Ⅱ）無(wú)B卡的，A卡在百位時(shí)：有A₂²×2×2=8個(gè)，A卡不在百位時(shí)，有C₂¹A₂²×2×2×2=32個(gè)，
故共有N=72+24+96+8+32=232個(gè)三位整數(shù)．
（2）數(shù)列的首項(xiàng)可以為0，
故A卡、B卡、C卡都不受排列位置的限制，但B卡正反兩面有3種用法，其余的卡都有2種用法．
任選3張卡排成一列，有B卡時(shí)可得C₃²×A₃³×3×2×2=216個(gè)，
無(wú)B卡時(shí)有A₃³×2×2×2=48個(gè)，共有216+48=264個(gè)，
其中三個(gè)數(shù)依次等差數(shù)列的情況有0，2，4和4，2，0；0，3，6和6，3，0；1，3，5和5，3，1；1，4，7和7，4，1；2，4，6和6，4，2；3，5，7和7，5，3；1，5，9和9，5，1；共14個(gè)；
故所求的概率為P=

14

264

=

7

132

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用以及等可能事件的概率計(jì)算；對(duì)于（1）、（2）要注意三位數(shù)與排列的區(qū)別．