從正反面分別寫有0和1,2和3,4和5,6和7的4張卡片中任取3張,再將每張卡片的某一面朝上,依次排成一排,其中2,3,4,5,7 不能倒置,0和1倒置后仍是0和1,6可倒置為9.
(1)用三張卡片組成三位整數(shù),所有可能得到的三位整數(shù)有幾個?
(2)用三張卡片組成數(shù)列,求三個數(shù)字依次成一個等差數(shù)列的概率.
【答案】分析:先記有0和1的為A卡,寫有6和7的為B卡,另兩張為C卡;
(1)根據(jù)題意,分有無A卡2種情況討論,由分步計數(shù)原理計算每種情況下的三位數(shù)的個數(shù),再由分類計數(shù)原理將兩種情況下的三位數(shù)的個數(shù)相加,即可得答案;
(2)由數(shù)列的性質分析可得B卡正反兩面有3種用法,其余的卡都有2種用法,分有無B卡2種情況討論,由分步計數(shù)原理計算可得數(shù)列的個數(shù),將其相加可得全部數(shù)列的情況數(shù)目,列舉可得三個數(shù)依次等差數(shù)列的情況數(shù)目,由等可能事件的概率公式,計算可得答案.
解答:解:記寫有0和1的為A卡,寫有6和7的為B卡,另兩張為C卡;
(1)根據(jù)題意,三位數(shù)的首位不能為0,分2種情況討論:
①無A卡時,一張B卡和兩張C卡可以作任意的排列,并且每一張卡的正反兩面都可用,其中B卡的兩個面有3種用法,故可組成×3×2×2=72個三位數(shù); 
②有A卡時,再分有無B卡討論:
(Ⅰ)有B卡的,A卡在百位時:有C21A22×3×2=24個,A卡不在百位時,有C21C21A22×3×2×2=96個,
(Ⅱ)無B卡的,A卡在百位時:有A22×2×2=8個,A卡不在百位時,有C21A22×2×2×2=32個,
故共有N=72+24+96+8+32=232個三位整數(shù).
(2)數(shù)列的首項可以為0,
故A卡、B卡、C卡都不受排列位置的限制,但B卡正反兩面有3種用法,其余的卡都有2種用法.
任選3張卡排成一列,有B卡時可得C32×A33×3×2×2=216個,
無B卡時有A33×2×2×2=48個,共有216+48=264個,
其中三個數(shù)依次等差數(shù)列的情況有0,2,4和4,2,0;0,3,6和6,3,0;1,3,5和5,3,1;1,4,7和7,4,1;2,4,6和6,4,2;3,5,7和7,5,3;1,5,9和9,5,1;共14個;
故所求的概率為P==
點評:本題考查排列、組合的應用,分步、分類計數(shù)原理的應用以及等可能事件的概率計算;對于(1)、(2)要注意三位數(shù)與排列的區(qū)別.
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