Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx•sin（

π

2

-φ）-sin（

π

2

+ωx）sin（π+φ）是R上的偶函數(shù)，其中ω＞0，0≤φ≤π，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（

3π

4

，0）對(duì)稱，且在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，求φ和ω的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式可得f（x）=sin（ωx+φ），根據(jù)它是偶函數(shù)，結(jié)合φ的范圍，可得φ=

π

2

，f（x）=cosωx．再根據(jù)cos（ω•

3π

4

）=0，求得ω 的范圍，再由f（x）=cosωx 在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，可得ω•

π

2

≤π，從而求得ω的值．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sinωx•sin（

π

2

-φ）-sin（

π

2

+ωx）sin（π+φ）
=sinωx•cosφ+cosωx•sinφ=sin（ωx+φ）是偶函數(shù)，
∴φ=2kπ+

π

2

，k∈z．
再結(jié)合0≤φ≤π，可得φ=

π

2

，故f（x）=sin（ωx+

π

2

）=cosωx．
再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)M（

3π

4

，0）對(duì)稱，可得cos（ω•

3π

4

）=0，
∴ω•

3π

4

=nπ+

π

2

，n∈z，即ω=

4n+2

3

，∴ω=2，5，8，…
再由f（x）=cosωx 在區(qū)間[0，

π

2

]上是單調(diào)函數(shù)，可得ω•

π

2

≤π，∴ω≤2，∴ω=2．
綜上可得，ω=2，φ=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．