Question

6．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求S_n；
（3）在（2）的條件下，若對(duì)任意正整數(shù)n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)可知2（a₃+2）=a₂+a₄，結(jié)合a₂+a₃+a₄=28可知a₃=8，進(jìn)而通過(guò)解方程$\frac{8}{q}$+8q=20可知公比q=2，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=-n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）并整理可知，對(duì)任意正整數(shù)n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立等價(jià)于m＜$\frac{1}{{2}^{n}}$-1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1的最小值，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
又∵a₂+a₃+a₄=28，
∴2（a₃+2）=28-a₃，
解得：a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則$\frac{8}{q}$+8q=20，
解得：q=2或q=$\frac{1}{2}$（舍），
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=a_nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$a_n=-n•2ⁿ，
∴-S_n=-（b₁+b₂+b₃+…+b_n）=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
則-2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹；
（3）由（2）可知，對(duì)任意正整數(shù)n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立，
即-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹+（n+m）a_n+1＜0恒成立，
整理得：m＜$\frac{1}{{2}^{n}}$-1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
易知f（n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1隨著n的增大而減小，即f（n）∈（-1，-$\frac{1}{2}$]，
∴m≤-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．