Question

2．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為非零向量，$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a，（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）⊥\overrightarrow b$，則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由條件即可得到$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0，（\overrightarrow-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow=0$，這樣即可得到$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}=\frac{1}{2}$，且$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，從而可以求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$，這樣便可得出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}，（\overrightarrow-2\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow$；
∴$（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，$（\overrightarrow-2\overrightarrow{a}）•\overrightarrow={\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow，{\overrightarrow}^{2}=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow}^{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{{\overrightarrow{a}}^{2}}=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量夾角余弦的計(jì)算公式．