已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+n，直線l與函數(shù)f（x），g（x）的圖象都相切于點(diǎn)（1，0）
（1）求直線l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的值域．
【答案】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據(jù)直線l與g（x）的圖象相切，所以g（x）在點(diǎn)（1，0）的導(dǎo)函數(shù)值為1，建立方程組，解之即可求出g（x）的解析式；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)h（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)只有一個極值，那么極大值就是最大值．
解答：解：（1）直線l是函數(shù)f（x）=lnx在點(diǎn)（1，0）處的切線，故其斜率k=f′（1）=1，
所以直線l的方程為y=x-1．（2分）
又因?yàn)橹本�l與g（x）的圖象相切，
所以在點(diǎn)（1，0）的導(dǎo)函數(shù)值為1．
所以（6分）

（2）因?yàn)閔（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x2-x+1（x＞0）（7分）
所以（9分）
當(dāng)時，h′（x）＞0；當(dāng)時，h′（x）＜0（11分）
因此，當(dāng)時，h（x）取得最大值（12分）
所以函數(shù)h（x）的值域是．（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及恒成立問題，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-a
x
，且g（x）在x=1處取得極值．
（1）求a的值及h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當(dāng)1＜x＜e2時，恒有x＜
2+f(x)
2-f(x)
；
（3）把h（x）對應(yīng)的曲線C1向上平移6個單位后得到曲線C2，求C2與g（x）對應(yīng)曲線C3的交點(diǎn)的個數(shù)，并說明道理．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g(x)=x+
a
x
（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)n∈N*，n≥2時，證明：
ln2
3
•
ln3
4
•…•
lnn
n+1
＜
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=lnx-
a
x
．
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時，判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值為
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=lnx，g（x）=x2-x，
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-2，0]時，g（x）≤2c2-c-x3恒成立，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=lnx+cosx，則f（x）在x=
π2
處的導(dǎo)數(shù)值為
 
．

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