Question

14．已知F₁（-c，0）、F₂（c，0）分別是橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1（{a＞0}）$的左、右焦點，點M是橢圓上一點，且MF₂⊥F₁F₂，|MF₁|-|MF₂|=$\frac{4}{3}$a．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點，以AB為底作等腰三角形，頂點為P（-3，2），求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合橢圓定義求得|MF₁|=$\frac{5}{3}a$，|MF₂|=$\frac{a}{3}$，再由MF₂⊥F₁F₂，利用勾股定理求得a值，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出E的坐標(biāo)，結(jié)合斜率求得m值，進(jìn)一步求出A、B的坐標(biāo)，得到AB所在直線方程，利用點到直線的距離公式求出P到AB的距離，代入三角形面積公式求得△PAB的面積．

解答 解：（1）∵|MF₁|-|MF₂|=$\frac{4}{3}$a，|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴|MF₁|=$\frac{5}{3}a$，|MF₂|=$\frac{a}{3}$，
∵M(jìn)F₂⊥F₁F₂，∴$|M{F}_{1}{|}^{2}=|M{F}_{2}{|}^{2}+|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$．
即$\frac{25}{9}{a^2}=\frac{a^2}{9}+4{c^2}$，則${c^2}=\frac{2}{3}{a^2}$，
∵c²=a²-4，∴a²=12，
∴橢圓$G：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$，得4x²+6mx+3m²-12=0．①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB的中點為E（x₀，y₀），
則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3m}{4}$，${y_0}={x_0}+m=\frac{m}{4}$．
∵AB是等腰△PAB的底邊，∴PE⊥AB．
∴PE的斜率$k=\frac{{2-\frac{m}{4}}}{{-3+\frac{3m}{4}}}=-1$，解得m=2．
此時方程①為4x²+12x=0，解得x₁=-3，x₂=0，∴y₁=-1，y₂=2，
∴|AB|=3$\sqrt{2}$．
此時，點P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離d=$\frac{|-3-2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△PAB的面積S=$\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{2}$．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．