Question

18．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-π＜β＜-$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cos（α+$\frac{β}{2}$）=（　　）

• A． -$\frac{5\sqrt{3}}{9}$
• B． $\frac{5\sqrt{3}}{9}$
• C． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin（$\frac{π}{4}$+α），sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）的值，由α+$\frac{β}{2}$=（$\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$），利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{π}{4}$+α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}+α）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵-π＜β＜-$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos（α+$\frac{β}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+α）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]
=cos（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）
=$\frac{1}{3}×$（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．