Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（2+x）=f（2-x）．
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，并且已知x=0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．求f（x）的另外兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-1．求f（x）在[-4，0]上的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（2+x）=f（2-x）及f（0）=0知f（4）=f（0）=0，從而得到4也是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．再由有三個(gè)零點(diǎn)知f（2）=0．從而確定零點(diǎn)．
（2）先求x∈[0，4]時(shí)的函數(shù)解析式f（x）=

2x-1，x∈[0，2] 7-2x，x∈[2，4]

；再由[-4，0]上的解析式．

解答： 解：（1）由題意，可知f（2+x）=f（2-x）恒成立，
即函數(shù)圖象關(guān)于x=2對(duì)稱．
又因?yàn)閒（0）=0，0關(guān)于x=2對(duì)稱的數(shù)為4，
得f（4）=f（0）=0．
∴4也是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．圖象關(guān)于x=2對(duì)稱且有三個(gè)零點(diǎn)，則只有f（2）=0．
∴f（x）另外兩個(gè)零點(diǎn)為2，4．
（2）設(shè)x∈[2，4]，則該區(qū)間關(guān)于x=2對(duì)稱的區(qū)間為[0，2]．
x關(guān)于x=2對(duì)稱的點(diǎn)為4-x，即4-x∈[0，2]，
4-x滿足f（x）=2x-1，得f（x）=7-2x．
∴在x∈[0，4]時(shí)，f（x）=

2x-1，x∈[0，2] 7-2x，x∈[2，4]

；
又∵f（x）為偶函數(shù)，
可得x∈[-4，0]的解析式為f（x）=

7+2x，x∈[-4，-2] -2x-1，x∈[-2，0]

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題．