【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

1)當時,求處的切線方程;

2)求函數(shù)的單調區(qū)間;

3)若存在(),使得,證明:.

【答案】1;(2)當時,的遞增區(qū)間是,無遞減區(qū)間;當時,的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是;(3)證明見解析.

【解析】

1)對求導,可得的值,可得處的切線方程;

2)令,可得,對其分,進行討論,可得的取值范圍及的單調區(qū)間;

3)由(2)知,,且,可得關于的函數(shù),對其求導可得其單調性,可得證明.

解:因為時,恒成立,

所以定義域為,且

1)當時,,,所以,

所以處的切線方程為:.

2)令得,, (※)

①當,即時,又

所以時,,上單調遞增;

②當,解得,又,所以時,

由方程(※)解得,,,

時,,的遞增區(qū)間是

時,,的遞減區(qū)間是.

綜上,當時,的遞增區(qū)間是,無遞減區(qū)間;

時,的遞增區(qū)間是,遞減區(qū)間是.

3)由(2)知,,且,

所以,

因為,,代入上式得

,

,,

,

所以上單調遞增,

所以,即證得.

練習冊系列答案
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