Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形， ， ， ， ，側(cè)面底面.

（1）求證：平面平面；

（2）若與底面所成角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）：取AB中點(diǎn)M，連接DM，可得DB⊥AD又側(cè)面SAD⊥底面ABCD，可得BD⊥平面SAD，即可得平面SBD⊥平面SAD（2）以D為原點(diǎn)，DA，DB所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出設(shè)面SCB的法向量為： ，面SBD的法向量為．利用向量即可求解．

解析：（1）因?yàn)?/span>， ，

所以， 是等腰直角三角形，

故，

因?yàn)?/span>， ，

所以∽，

，即，

因?yàn)閭?cè)面底面，交線為，

所以平面，所以平面平面.

（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

因?yàn)閭?cè)面底面，

所以底面，

所以是底面與底面所成的角，即，

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，

因?yàn)閭?cè)面底面，

所以底面，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)， ，

則， ，

設(shè)是平面法向量，

則

取，

設(shè)是平面的法向量，

則

取，

所以二面角的余弦值為.