Question

9．已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x）-f（-x）=2e^x-2e^-x-4x，且g（x）=f（2x）-4mf（x）．
（1）證明：函數f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線的斜率為非負實數；
（2）若x＞0時，g（x）＞0，求m的最大值；
（3）估計ln2的近似值（精確到0.001）．（注：1.4142＜$\sqrt{2}$＜1.4143）

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性求出函數f（x）的解析式，求函數的導數，利用導數的幾何意義即可得到結論．
（2）先驗證g（0）=0，只需說明g（x）在[0+∞）上為增函數即可，從而問題轉化為“判斷g′（x）＞0是否成立”的問題；
（3）根據第（2）問的結論，設法利用$\sqrt{2}$的近似值，并尋求ln2，于是在m=2及m＞2的情況下分別計算g（ln$\sqrt{2}$），最后可估計ln2的近似值．

解答 證明：（1）∵奇函數f（x）滿足f（x）-f（-x）=2e^x-2e^-x-4x，
∴2f（x）=2e^x-2e^-x-4x，
則f（x）=e^x-e^-x-2x，
則函數的導數f′（x）=e^x+e^-x-2，
∵e^x+e^-x$≥2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
∴f′（x）=e^x+e^-x-2≥0，
即函數f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線的斜率為非負實數．
解：（2）g（x）=f（2x）-4mf（x）=e^2x-e^-2x-4m（e^x-e^-x）+（8m-4）x，
則g′（x）=2[e^2x+e^-2x-2m（e^x+e^-x）+（4m-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2m（e^x+e^-x）+（4m-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x+2-2m）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴當2m≤4，即m≤2時，g′（x）≥0，當且僅當x=0時取等號，
從而g（x）在R上為增函數，而g（0）=0，
∴x＞0時，g（x）＞0，符合題意．
②當b＞2時，若x滿足2＜e^x+e^-x＜2m-2，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＜{e}^{x}+{e}^{-x}}\\{{e}^{x}+{e}^{-x}＜2m-2}\end{array}\right.$，得0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$），
此時，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，當0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）時，g（x）＜0，不符合題意．
綜合①、②知，m≤2，得m的最大值為2．
解：（3）∵1.4142＜$\sqrt{2}$＜1.4143，根據（Ⅱ）中g（x）=e^2x-e^-2x-4m（e^x-e^-x）+（8m-4）x，
為了湊配ln2，并利用$\sqrt{2}$的近似值，故將ln$\sqrt{2}$即$\frac{1}{2}ln2$代入g（x）的解析式中，
得g（ln$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$m+2（2m-1）ln2．
當m=2時，由g（x）＞0，得g（ln$\sqrt{2}$）=$\frac{3}{2}$-4$\sqrt{2}$+6ln2，
從而ln2＞$\frac{8\sqrt{2}-3}{12}＞\frac{8×1.4142-3}{12}$=0.6928；
令ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）=ln$\sqrt{2}$，
得m=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$+1＞2，]
當0＜x＜ln（m-1+$\sqrt{{m}^{2}-2m}$）時，
由g（x）＜0，得g（ln$\sqrt{2}$）=-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$m+（3$\sqrt{2}$+2）ln2＜0，
得ln2＜$\frac{18+\sqrt{2}}{28}$$＜\frac{18+1.4143}{28}＜$0.6934．
所以ln2的近似值為0.693

點評 本題三個小題的難度逐步增大，考查了學生對函數單調性深層次的把握能力，對思維的要求較高，屬壓軸題．從求解過程來看，對導函數解析式的合理變形至關重要，因為這直接影響到對導數符號的判斷，是解決本題的一個重要突破口．