Question

14．已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上．且經過點M（1，2），
（1）求拋物線C的方程；
（2）若動直線l過點P（3，0），交拋物線C于A，B兩點，是否存在垂直于x軸的直線l'被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l'的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設拋物線的標準方程為y²=2px，由曲線C經過點P（1，2），得p=2，即可求解；
（2）由題意可得，AP的中點為C，設A（x₁，y₁），則C（$\frac{{x}_{1}+3}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$）．設D、E是圓C上的兩個點，且DE垂直于x軸，DE的中點為H，點D（x₂，y₂），則H（x₂，y₃），求得|DC|和|CH|、|DH|²，可得當x₂=2時，|DH|²=2，故弦長為|DE|=2|DH|=2 $\sqrt{2}$為定值，由此可得結論

解答 解：（1）由題意，可設拋物線的標準方程為y²=2px，
因為曲線C經過點P（1，2），所以p=2，
所以拋物線C的方程為y²=4x，
（2）由題意可得，AP的中點為C，設A（x₁，y₁），則C（$\frac{{x}_{1}+3}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$）．
設D、E是圓C上的兩個點，且DE垂直于x軸，DE的中點為H，點D（x₂，y₂），則H（x₂，y₃），
∴|DC|=$\frac{1}{2}$|AP|=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{1}-3）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，|CH|=|$\frac{{x}_{1}+3}{2}-{x}_{2}$|=$\frac{1}{2}$|x₁-2x₂+3|，|DH|²=|DC|²-|HC|²=（x₂-2）x₁-x${{\;}_{2}}^{2}$+3x₂
由x₁的任意性可得，當x₂=2時，|DH|²=-4+6=2，故弦長為|DE|=2|DH|=2$\sqrt{2}$ 為定值．
故存在垂直于x軸的直線l（即直線DE），倍圓截得的弦長為定值，直線l的方程為 x=2．

點評 本題主要考查用待定系數(shù)法求拋物線和雙曲線的標準方程，直線和圓相交的性質，屬于中檔題．