Question

9．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，M，N分別是A₁B₁，BC，C₁D₁，B₁C₁的中點(diǎn)，求二面角M-EF-N的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 求出兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量之間的關(guān)系，即可求二面角M-EF-N的平面角的正切值．

解答 解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，M，N分別是A₁B₁，BC，C₁D₁，B₁C₁的中點(diǎn)，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則C（0，0，0），M（1，0，2），F(xiàn)（0，1，0），N（0，1，2），E（1，2，2），
直線FN⊥MN，EN∩FN=N，
∴MN⊥平面NEF，
∴MN⊥平面ENF，
即向量$\overrightarrow{NM}$=（1，-1，0）是平面ENF的法向量，
設(shè)平面EFM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{EM}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，-2），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{-2y=0}\\{-x+y-2z=0}\end{array}\right.$
即y=0，x=-2z，設(shè)z=1，則x=-2，即$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{NM}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{NM}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
則二面角M-EF-N的平面角是銳角，它的余弦函數(shù)值為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的求解以及利用向量法求解異面直線的角的大小運(yùn)算量較大．