Question

3．已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，ABCD為矩形且PA=AB=2，AD=4，E為PD中點．
（I）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅱ）試問：在線段AD上是否存在一點F，使點F到平面AEC的距離等于1？若存在，請求出AF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）作EO⊥AD，則EO⊥平面ABCD，做OG⊥AC，連接EG，則EG⊥AC，∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，即可求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅱ）利用等體積方法，即可得出結論．

解答 解：（I）作EO⊥AD，則EO⊥平面ABCD，做OG⊥AC，連接EG，則EG⊥AC，
∴∠EGF是二面角E-AC-D的平面角，
∵PA=2，E為PD中點，∴EO=1，OG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴EG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠EGF=$\frac{OG}{EG}$=$\frac{2}{3}$；
∴二面角E-AC-D的余弦值為$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）設AF=x，則△AEC中，AC=2$\sqrt{5}$，EG=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，∴S_△AEC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{5}}{5}$=3，
由等體積可得$\frac{1}{3}×3×1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×2×1$，∴x=3，
∴在線段AD上存在一點F，使點F到平面AEC的距離等于1，AF=3．

點評 本題考查二面角的余弦值，考查點到平面距離的計算，考查三棱錐體積的計算，屬于中檔題．