Question

15．平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)P為曲線C上一點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線交y軸于點(diǎn)A，若△PAF外接圓面積為4π，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線定義“到定點(diǎn)距離等于到定直線距離的點(diǎn)的軌跡”求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡；
（2）求出切線方程，可得A的坐標(biāo)，證明PF為△PAF外接圓的直徑，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）因?yàn)榍�線C上的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到直線x=-2的距離小1，
所以動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-1的距離與它到點(diǎn)F（1，0）的距離相等，
故所求軌跡為：以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y²=4x．
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則y′=$\frac{2}{y}$，
∴曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y-n=$\frac{2}{n}$（x-m），
令x=0，可得y=$\frac{2m}{n}$=$\frac{1}{2}n$，
∴A（0，$\frac{1}{2}$n），
∴k_AF=-$\frac{n}{2}$，
∴AF⊥PA，
∴PF為△PAF外接圓的直徑．
∵△PAF外接圓面積為4π，
∴△PAF外接圓的半徑為2，
∴|PF|=4，
∴m+1=4，
∴m=3，n=±2$\sqrt{3}$．
∴P（3，±2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線定義、方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．