Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是，求實(shí)數(shù)與的值。

Answer 1

（1）（舍去）或.此時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002318911720.png" style="vertical-align:middle;" /> ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
（2）由單調(diào)函數(shù)的定義得：當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).
同理當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù).
（3），.

試題分析：（1）由已知條件得
對(duì)定義域中的均成立.…………………………1分

即        …………………2分
對(duì)定義域中的均成立.    即（舍去）或.
此時(shí)函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002318911720.png" style="vertical-align:middle;" /> ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。      ……………4分
（2）由（1）得
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，
.                   ………………6分
當(dāng)時(shí)，，即.………………7分
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù). ……………………………8分
同理當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù). ……………………9分
（3）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002318911720.png" style="vertical-align:middle;" />，
① 當(dāng)時(shí)， .
在為增函數(shù)，
要使值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002318802510.png" style="vertical-align:middle;" />，則（無解）    ………………11分
②當(dāng)時(shí)， .
在為減函數(shù),
要使的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002318802510.png" style="vertical-align:middle;" />, 則
，.           ……………14分
點(diǎn)評(píng)：綜合題，本題以復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，綜合考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，對(duì)考生數(shù)學(xué)式子變形能力要求較高。