Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=a（Sn﹣an+1）（a為常數(shù)，且a＞0），且a3是6a1與a2的等差中項(xiàng)．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=anlog2an ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)Sn=a（Sn﹣an+1），分別令n=1，2，3，可求得：

；

∴6a+a2=a3；

∵a＞0；

∴6+a=a2，解得a=3；

∴Sn=3（Sn﹣an+1）①；

∴n＞1時(shí)，Sn﹣1=3（Sn﹣1﹣an﹣1+1）②；

∴①﹣②得：an=3an﹣1；

∴ ；

∴{an}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；

∴

（2）解： ；

∴Tn=b1+b2+…+bn=log23（131+232+…+n3n） ①；

∴3Tn= ②；

∴①﹣②得： = = ；

∴ ．

【解析】（1）根據(jù)已知條件即可求出a=3，所以根據(jù)n＞1時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1可得到an=3an﹣1 ， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫(xiě)出an；（2） ，所以 ①，而要求131+232+…+n3n容易想到用錯(cuò)位相減法： ②，①﹣②即可求得Tn ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．