Question

已知函數(shù)f（x）滿足．
（1）當(dāng)x∈N₊時(shí)，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)，求證：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）設(shè)，求．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（n+1）=f（n）•f（1）=，，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式能求出f（n）=．
（2）由=．設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，則S_n=，再由錯(cuò)位相減法能夠證明a₁+a₂+…+a_n＜2．
（3）由，能求出S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=．再由裂項(xiàng)求和法能夠得到求出．
解答：解：（1）令x=n，y=1，得到
f（n+1）=f（n）•f（1）=
∵f（n+1）=f（n），，
∴{f（n）}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，知
∴f（n）=．
（2）∵f（n）=，∴=．
設(shè)S_n=a₁+a₂+…+a_n，
則S_n=，
兩邊同乘，
得，
錯(cuò)位相減，得
=
=1--，
∴．
所以a₁+a₂+…+a_n＜2．
（3）∵
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=
=．
∴
=
=4（1-），
∴==4．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，巧妙地把函數(shù)知識(shí)、數(shù)列知識(shí)融為一體，體現(xiàn)了出題者的智慧．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)求和法的靈活運(yùn)用．