Question

對(duì)于數(shù)集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定義向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若對(duì)任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．例如{-1，1，2}具有性質(zhì)P．
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；
（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈X，且當(dāng)x_n＞1時(shí)，x₁=1；
（3）若X具有性質(zhì)P，且x₁=1、x₂=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x₁，x₂，…，x_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Y中取=（x，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可得Y中與垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，結(jié)合x＞2，可得x的值．
（2）取=（x₁，x₁），=（s，t）根據(jù)，化簡(jiǎn)可得s+t=0，所以s、t異號(hào)．而-1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1，另一個(gè)數(shù)是1，從而證出1∈X，最后通過(guò)反證法，可以證明出當(dāng)x_n＞1時(shí)，x₁=1．
（3）[解法一]先猜想結(jié)論：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n．記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n，通過(guò)反證法證明出引理：若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．最后用數(shù)學(xué)歸納法，可證明出x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n；
[解法二]設(shè)=（s₁，t₁），=（s₂，t₂），則等價(jià)于，得到一正一負(fù)的特征，再記B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則可得結(jié)論：數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個(gè)數(shù)，所以B∩（0．+∞）也有n-1個(gè)數(shù)．最后結(jié)合不等式的性質(zhì)，結(jié)合三角形數(shù)陣加以說(shuō)明，可得==…=，最終得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是x_k=x₁•（）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．
解答：解：（1）選取=（x，2），則Y中與垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，
又∵x＞2，∴只有b=2，從而x=4．
（2）取=（x₁，x₁）∈Y，設(shè)=（s，t）∈Y，滿足，可得（s+t）x₁=0，s+t=0，所以s、t異號(hào)．
因?yàn)?1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1，另一個(gè)數(shù)是1，所以1∈X，
假設(shè)x_k=1，其中1＜k＜n，則0＜x₁＜1＜x_n．
再取=（x₁，x_n）∈Y，設(shè)=（s，t）∈Y，滿足，可得sx₁+tx_n=0，
所以s、t異號(hào)，其中一個(gè)為-1
①若s=-1，則x₁=tx_n＞t≥x₁，矛盾；
②若t=-1，則x_n=sx₁＜s≤x_n，矛盾；
說(shuō)明假設(shè)不成立，由此可得當(dāng)x_n＞1時(shí)，x₁=1．
（3）[解法一]猜想：x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
記A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}，k=2，3，…，n
先證明若A_k+1具有性質(zhì)P，則A_k也具有性質(zhì)P．
任取=（s，t），s、t∈A_k，當(dāng)s、t中出現(xiàn)-1時(shí)，顯然有滿足
當(dāng)s、t中都不是-1時(shí)，滿足s≥1且t≥1．
因?yàn)锳_k+1具有性質(zhì)P，所以有=（s₁，t₁），s₁、t₁∈A_k+1，使得，從而s₁、t₁其中有一個(gè)為-1
不妨設(shè)s₁=-1，
假設(shè)t₁∈A_k+1，且t₁∉A_k，則t₁=x_k+1．由（s，t）（-1，x_k+1）=0，得s=tx_k+1≥x_k+1，與s∈A_k矛盾．
所以t₁∈A_k，從而A_k也具有性質(zhì)P．
再用數(shù)學(xué)歸納法，證明x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，則x_i=q^i-1，i=1，2，…，k
當(dāng)n=k+1時(shí)，若A_k+1═{-1，x₁，x₂，…，x_k+1}具有性質(zhì)P，則A_k═{-1，x₁，x₂，…，x_k}具有性質(zhì)P，
所以A_k+1═{-1，q，q²，…，q^k-1，x_k+1}．
取=（x_k+1，q），并設(shè)=（s，t）∈Y，滿足，由此可得s=-1或t=-1
若t=-1，則x_k+1=，不可能
所以s=-1，x_k+1=qt=q^j≤q^k且x_k+1＞q^k-1，因此x_k+1=q^k
綜上所述，x_i=q^i-1，i=1，2，3，…，n
[解法二]設(shè)=（s₁，t₁），=（s₂，t₂），則等價(jià)于
記B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個(gè)數(shù)．
所以B∩（0，+∞）也有n-1個(gè)數(shù)．
由于＜＜＜…＜，已經(jīng)有n-1個(gè)數(shù)
對(duì)以下三角形數(shù)陣：＜＜＜…＜，
                  ＜＜＜…＜
                 …
                 
注意到＞＞＞…＞，所以==…=
從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是x_k=x₁•（）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為載體，著重考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的探索、集合元素的性質(zhì)和數(shù)列與向量的綜合等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．本題是一道綜合題，請(qǐng)同學(xué)們注意解題過(guò)程中的轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論的方法和反證法的運(yùn)用．