【答案】
分析:(1)在Y中取
=(x,2),根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式,可得Y中與
垂直的元素必有形式(-1,b),所以x=2b,結(jié)合x>2,可得x的值.
(2)取
=(x
1,x
1),
=(s,t)根據(jù)
,化簡(jiǎn)可得s+t=0,所以s、t異號(hào).而-1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù),所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1,另一個(gè)數(shù)是1,從而證出1∈X,最后通過(guò)反證法,可以證明出當(dāng)x
n>1時(shí),x
1=1.
(3)[解法一]先猜想結(jié)論:x
i=q
i-1,i=1,2,3,…,n.記A
k═{-1,x
1,x
2,…,x
k},k=2,3,…,n,通過(guò)反證法證明出引理:若A
k+1具有性質(zhì)P,則A
k也具有性質(zhì)P.最后用數(shù)學(xué)歸納法,可證明出x
i=q
i-1,i=1,2,3,…,n;
[解法二]設(shè)
=(s
1,t
1),
=(s
2,t
2),則
等價(jià)于
,得到一正一負(fù)的特征,再記B={
|s∈X,t∈X且|s|>|t|},則可得結(jié)論:數(shù)集X具有性質(zhì)P,當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù),B∩(-∞,0)={-x
2,-x
3,-x
4,…,-x
n},共有n-1個(gè)數(shù),所以B∩(0.+∞)也有n-1個(gè)數(shù).最后結(jié)合不等式的性質(zhì),結(jié)合三角形數(shù)陣加以說(shuō)明,可得
=
=…=
,最終得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是x
k=x
1•(
)
k-1=q
k-1,k=1,2,3,…,n.
解答:解:(1)選取
=(x,2),則Y中與
垂直的元素必有形式(-1,b),所以x=2b,
又∵x>2,∴只有b=2,從而x=4.
(2)取
=(x
1,x
1)∈Y,設(shè)
=(s,t)∈Y,滿足
,可得(s+t)x
1=0,s+t=0,所以s、t異號(hào).
因?yàn)?1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù),所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1,另一個(gè)數(shù)是1,所以1∈X,
假設(shè)x
k=1,其中1<k<n,則0<x
1<1<x
n.
再取
=(x
1,x
n)∈Y,設(shè)
=(s,t)∈Y,滿足
,可得sx
1+tx
n=0,
所以s、t異號(hào),其中一個(gè)為-1
①若s=-1,則x
1=tx
n>t≥x
1,矛盾;
②若t=-1,則x
n=sx
1<s≤x
n,矛盾;
說(shuō)明假設(shè)不成立,由此可得當(dāng)x
n>1時(shí),x
1=1.
(3)[解法一]猜想:x
i=q
i-1,i=1,2,3,…,n
記A
k═{-1,x
1,x
2,…,x
k},k=2,3,…,n
先證明若A
k+1具有性質(zhì)P,則A
k也具有性質(zhì)P.
任取
=(s,t),s、t∈A
k,當(dāng)s、t中出現(xiàn)-1時(shí),顯然有
滿足
當(dāng)s、t中都不是-1時(shí),滿足s≥1且t≥1.
因?yàn)锳
k+1具有性質(zhì)P,所以有
=(s
1,t
1),s
1、t
1∈A
k+1,使得
,從而s
1、t
1其中有一個(gè)為-1
不妨設(shè)s
1=-1,
假設(shè)t
1∈A
k+1,且t
1∉A
k,則t
1=x
k+1.由(s,t)(-1,x
k+1)=0,得s=tx
k+1≥x
k+1,與s∈A
k矛盾.
所以t
1∈A
k,從而A
k也具有性質(zhì)P.
再用數(shù)學(xué)歸納法,證明x
i=q
i-1,i=1,2,3,…,n
當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論顯然成立;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),A
k═{-1,x
1,x
2,…,x
k}具有性質(zhì)P,則x
i=q
i-1,i=1,2,…,k
當(dāng)n=k+1時(shí),若A
k+1═{-1,x
1,x
2,…,x
k+1}具有性質(zhì)P,則A
k═{-1,x
1,x
2,…,x
k}具有性質(zhì)P,
所以A
k+1═{-1,q,q
2,…,q
k-1,x
k+1}.
取
=(x
k+1,q),并設(shè)
=(s,t)∈Y,滿足
,由此可得s=-1或t=-1
若t=-1,則x
k+1=
,不可能
所以s=-1,x
k+1=qt=q
j≤q
k且x
k+1>q
k-1,因此x
k+1=q
k
綜上所述,x
i=q
i-1,i=1,2,3,…,n
[解法二]設(shè)
=(s
1,t
1),
=(s
2,t
2),則
等價(jià)于
記B={
|s∈X,t∈X且|s|>|t|},則數(shù)集X具有性質(zhì)P,當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
注意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù),B∩(-∞,0)={-x
2,-x
3,-x
4,…,-x
n},共有n-1個(gè)數(shù).
所以B∩(0,+∞)也有n-1個(gè)數(shù).
由于
<
<
<…<
,已經(jīng)有n-1個(gè)數(shù)
對(duì)以下三角形數(shù)陣:
<
<
<…<
,
<
<
<…<
…
注意到
>
>
>…>
,所以
=
=…=
從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是x
k=x
1•(
)
k-1=q
k-1,k=1,2,3,…,n.
點(diǎn)評(píng):本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算為載體,著重考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的探索、集合元素的性質(zhì)和數(shù)列與向量的綜合等知識(shí)點(diǎn),屬于難題.本題是一道綜合題,請(qǐng)同學(xué)們注意解題過(guò)程中的轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論的方法和反證法的運(yùn)用.