Question

對于數(shù)集X={-1，x₁，x₂，…，x_n}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定義向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P。例如{-1，1，2}具有性質(zhì)P。
（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；
（2）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈X，且當(dāng)x_n＞1時(shí)，x₁=1；
（3）若X具有性質(zhì)P，且x₁=1、x₂=q（q為常數(shù)），求有窮數(shù)列x₁，x₂，…，x_n的通項(xiàng)公式。

Answer 1

解：（1）選取=（x，2），則Y中與 垂直的元素必有形式（-1，b），
所以x=2b，
又∵x＞2，
∴只有b=2，從而x=4。
（2）取 =（x1，x1）∈Y，設(shè) =（s，t）∈Y，滿足 ，
可得（s+t）x₁=0，s+t=0，
所以s、t異號(hào)
因?yàn)?1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，
所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1，另一個(gè)數(shù)是1，
所以1∈X，假設(shè)x_k=1，其中1＜k＜n，則0＜x₁＜1＜x_n
再取 =（x₁，x_n）∈Y，設(shè)=（s，t）∈Y，滿足 ，
可得sx₁+tx_n=0，所以s、t異號(hào)，其中一個(gè)為-1
①若s=-1，則x₁=tx_n＞1≥x₁，矛盾；
②若t=-1，則x_n=sx₁＜s≤x_n，矛盾；
說明假設(shè)不成立，由此可得當(dāng)x_n＞1時(shí)，x₁=1。
（3）設(shè)=（s₁，t₁），=（s₂，t₂），
則等價(jià)于
記B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，則數(shù)集X具有性質(zhì)P，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于原點(diǎn)對稱
意到-1是集合X中唯一的負(fù)數(shù)，
B∩（-∞，0）={-x₂，-x₃，-x₄，…，-x_n}，共有n-1個(gè)數(shù)．
所以B∩（0，+∞）也有n-1個(gè)數(shù)
由于＜＜＜…＜，已經(jīng)有n-1個(gè)數(shù)
對以下三角形數(shù)陣：
＜＜＜…＜，
＜＜＜…＜                
…

注意到＞＞＞…＞，
所以==…=
從而數(shù)列的通項(xiàng)公式是x_k=x₁（）^k-1=q^k-1，k=1，2，3，…，n。