Question

數(shù)列{a_n}滿足
（1）對(duì)任意n∈N+，an∈{t|t=cos

mπ

2

，m∈Z}；
（2）數(shù)列{a_n}前2009項(xiàng)和為-99．
（3）數(shù)列{（a_n+1）²}前2009項(xiàng)和為2010．則{a_n}前2009項(xiàng)中，取值為-1的項(xiàng)有（　�。�

A．147個(gè)

B．148個(gè)

C．149個(gè)

D．150個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)條件（1）可知a_n∈{1，0，-1}，a_n²=0，1，根據(jù)（2）和（3）數(shù)列{an}前2009項(xiàng)和為-99，數(shù)列{（a_n+1）²}前2009項(xiàng)和為2010，利用完全平方公式展開(kāi)，整體代換，即可求得{a_n}前2009項(xiàng)中，取值為-1的項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵對(duì)任意n∈N+，an∈{t|t=cos

mπ

2

，m∈Z}，
∴a_n∈{1，0，-1}，a_n²=0，1
∵數(shù)列{a_n}前2009項(xiàng)和為-99，即a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₉=-99，
數(shù)列{（a_n+1）²}前2009項(xiàng)和為2010，即（a₁+1）²+（a₂+1）²+（a₃+1）²+…+（a₂₀₀₉+1）²
=a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₀₉²+2（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₀₉）+2009=2010，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a₂₀₀₉²=199，②
由①②知{an}前2009項(xiàng)中，取值為-1的項(xiàng)149個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查數(shù)列的應(yīng)用即數(shù)列的求和問(wèn)題，題目與三角函數(shù)結(jié)合，命題形式新穎，同時(shí)考查了三角函數(shù)的周期性和特殊角的三角函數(shù)值，在計(jì)算過(guò)程中注意整體代換，屬中檔題．