Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM₁M₂M₃N與路徑MN₁N都是M到N的“L路徑”.某地有三個(gè)新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心.

(1)寫出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達(dá)式(不要求證明).
(2)若以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.

Answer 1

(1)|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞)
(2)在點(diǎn)P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.

【解題指南】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)和絕對(duì)值不等式的應(yīng)用.
解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
(1)點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值為|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).
(2)由題意知,點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點(diǎn)P分別到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和(記為d)的最小值.
①當(dāng)y≥1時(shí),d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,
因?yàn)閐₁(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|.　(*)
當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),不等式(*)中的等號(hào)成立,
又因?yàn)閨x+10|+|x-14|≥24.　(**)
當(dāng)且僅當(dāng)x∈[-10,14]時(shí),不等式(**)中的等號(hào)成立.
所以d₁(x)≥24,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),等號(hào)成立,
因?yàn)閐₂(y)=2y+|y-20|≥21,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí),等號(hào)成立.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)時(shí),P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小,且最小值為45.
②當(dāng)0≤y≤1時(shí),由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.
此時(shí),d₁(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
d₂(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
由①知,d₁(x)≥24,故d₁(x)+d₂(y)≥45,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時(shí)等號(hào)成立.
綜上所述,在點(diǎn)P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小.