Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≤2}\\{lo{g}_{2}（x-1），x＞2}\end{array}\right.$．
（1）當(dāng)x∈[-1，2]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）解不等式f（x+1）＞3．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出當(dāng)x∈[-1，2]時，函數(shù)f（x）的值域，
（2）不等式f（x+1）＞3等價于$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2}\\{{x}^{2}-1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞2}\\{lo{g}_{2}x＞3}\end{array}\right.$解得即可．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[-1，2]時，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-1，f（x）_max=f（-1）=3，
∴當(dāng)x∈[-1，2]時，函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]，
（2）不等式f（x+1）＞3等價于$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2}\\{{x}^{2}-1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞2}\\{lo{g}_{2}x＞3}\end{array}\right.$
解得x≤-2，或x≥8，
故不等式的解集為（-∞，-2）∪（8，+∞）

點評 本題考查了分段函數(shù)的問題，以及二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，和不等式的解法，屬于中檔題．